积分概念教学中的若干思考

一、引言

高等数学是理、工科专业学生一门重要的基础课程，也是很多其他专业的必修课。高等数学一向以其高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性著称，高等数学主要的研究对象是变量，相对于研究常量和匀变量的初等数学来说，高等数学的难度大大提升了，其中尤其以一些全新概念的出现让学生感觉困难重重。

数学概念是指数学符号代表的、经过抽象概括的具有共同属性的数学对象、关系和性质。由于数学概念是抽象思维的产物，所以它具有辩证性、客观性、合理性等特点；同时数学概念也具有抽象和具体的双重性，数学概念相互之间也具有逻辑联系性。而且高等数学的概念基本上都是以运动的面貌出现的，是动态的产物。高等数学中的概念有很多，例如极限、导数、微分、积分等，这其中的很多概念都是贯穿于整个学习过程的，其中积分的概念更是贯穿始终，从一元函数的不定积分到定积分，再到多元函数的二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分，积分的概念和思想在整个高等数学学习中占了很大的比例。在积分概念的讲解中应该采取什么样的方式和手段才能更好地建立概念之间的联系，帮助学生更好地掌握这个重要的内容是本文主要的研究内容。

二、积分概念讲解中应该注意的问题和采取的方法

积分概念的教学要注重建立积分概念的过程，我认为在积分概念的教学过程中应该注意以下几个问题：

（一）讲好积分概念的实际背景

高等数学中的很多概念都是为解决实际问题而产生和发展起来的，有着良好的物理背景或几何背景，所以在概念引入时利用这些资源，就可以更好地引导和启发学生在实际问题中理解并掌握概念，进而能够用所学习的概念解决新的问题。

积分是高等数学中一个重要的概念，是教学的重点，也是难点。定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题。现行的高等数学教材中一般有两个实际背景，一个是曲边梯形的面积，一个是变速直线运动的路程。进行积分概念的教学时，我们需要学生在已知曲线方程的情况下，设法求出以此曲线为一条曲边的某个曲边梯形的面积。面对这样一个问题，我一般首先引导学生和以往学习过的面积问题建立联系，将已有的知识体系和新的内容链接起来。学生们都知道规则图形的面积的获得方式，面对复杂图形，他们也能够想到用切割的方式来将曲边梯形的面积转化成规则图形的面积和。这里我们会遇到第一个困难，那就是即使对曲边梯形采取切割手段也不能够把它全部转化成规则图形，因此需要引导学生利用微分的几何意义考虑小范围的“以直代曲”。在对曲边梯形分割之后，在小范围内将小曲边梯形近似看做小矩形，这个过程中使用了高等数学中一个常见的处理问题的方式—近似代替，这个方法在引出导数的概念时曾经用过，为了获得瞬时速度通常会取一较小的时间段，求出在一个较小时间段内的平均速度，用平均速度作为瞬时速度的近似值。这个方法在积分概念的讲解中再次出现，也给了同学们启示，和导数概念中类似，获得近似值后，分析当分割越来越细会有什么样的效果，使学生自己意识到通过对分割出的各个小曲边梯形的近似面积和取极限可以得到曲边梯形面积的精确值。同理，我们引导学生求出变速直线运动的路程。然后总结一下这两个不同的实际问题，会发现他们有很多的共同特点，对这些共同特点加以抽象定积分的概念便水到渠成。这样的处理过程降低了概念讲解的难度，同时也让学生感受到了数学建模的一般过程，有助于学生分析问题和解决问题能力的提升。

（二）数形结合，建立积分概念的几何意义和物理意义    

尽管抽象性是数学概念的突出特点，但是直观性在高等数学教学中也占有重要地位。在日常的教学中应重视学生数学直观力的培养与训练，因为直观有助于概念的理解和掌握。介绍了定积分的概念之后，为了避免学生把定积分的定义仅停留于机械记忆上，需引导学生根据使用的曲边梯形的面积这个实例，由易到难逐步寻找到定积分的几何意义，帮助学生理解概念，让学生能够从直观上把握定积分所表达的内容。在老师的引导下学生完全可以将变速直线运动的路程也用几何的方式进行表达，学生把定积分的几何意义理解清楚了才能够进行知识迁移进而用这样的方法去理解二重积分的几何意义。对于几何意义不好展示的三重积分和曲线曲面积分，可以考虑使用物理意义帮助学生理解概念。

（三）把握积分概念的本质

由以上的讨论可以看出，借助于直观的几何意义，能很好地帮助学生促进概念由抽象到具体的转化。但是，想要正确而全面地理解和掌握概念，我们就一定要透过概念的形式揭示出积分概念的内在本质，从而使其成为非常透明的东西，这样也有助于学生在后续的学习中很好地进行知识迁移。就定积分概念而言，我们在教学中必须适时引导学生跳出狭义的圈子，使学生认识到，定积分与真实现象之间有着一般和特殊的关系，作为抽象思维的产物的定积分具有普遍的意义，它所反映的不是某一种特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同特征。除了曲边梯形的面积，变速直线的路程以外，它还可以表示曲线的弧长、旋转体的体积、变力对物体做的功等，事实上，定积分的本质就是无限细分和无限求和，它实际上表达的是一个乘积。在后续的学习中，学生再遇到和乘积有关的量，如果不是均匀变化的，定积分都有类似的意义。理解了这一点学生在后面学习定积分的应用中就能更好地理解和运用相关的方法，也能够更深刻地体会二重积分，三重积分以及曲线曲面积分的定义。理解了积分的本质，学生就能理解为什么二重积分、曲线曲面积分也可以用类似定积分的过程来解决。

（四）注重积分概念体系的建立

数学中的概念始终是高校教师授课的难点，往往让学生感觉枯燥，难懂。但是概念不是孤立的，在实际教学工作中帮助学生理清概念之间的联系，既可以达到更好地理解新概念的目标，同时也有助于建立整个概念体系。笔者认为一个概念体系的建立对于学生把握所学课程有着至关重要的意义。从定积分到重积分、曲线积分、曲面积分，这些积分概念本质上有很多类似的地方，教学过程中教师可以前后联系，将整个积分概念当做一个完整体系进行介绍，这样对重积分、曲线积分、曲面积分的概念讲解难度就会下降，学生在学习中需重点把握这些积分概念中的不同之处。通常可以使用类比的方法建立概念间的联系、异同。依靠类比与联想，可以帮助学生从二维空间进入三维空间直至更高维空间，从有形进入无形，从现实世界进入虚拟世界。

（五）将积分概念的发展史融入概念的讲解中

在目前的高等数学教材中，微分内容的学习是在积分内容之前的。但实际上在历史发展的过程中，积分思想的出现可以追溯到公元前5世纪的古希腊数学，积分思想的起源要远远早于微分思想。现代研究者认为数学概念的学习是学生主体主动利用已有认知结构去构建的过程，在这个建构过程中，应深入到概念形成过程的内部，对数学概念本身独有的基本发展特征做细致的认知分析。因此在定积分概念的教学中可以借助数学史来设计定积分的概念教学。教学开始之前可以介绍微积分的发展史，着重介绍积分思想的发展过程，通过这个工作可以让学生对积分概念的形成历史有一个清晰的认识。再根据老师设置的相关实际问题让学生逐步把握积分的思想本质，接下来基于这个构建过程就可以水到渠成地抽象概括出定积分的概念。整个教学过程形象而具体，能够很好地加深学生对积分概念的理解。

数学概念的教学是一个动态过程，也是一种创造性活动。在积分教学的过程中，教师要多思考，善于利用各种方式和手段揭示数学概念的本质，充分调动学生的学习兴趣，加深学生对概念的理解，建立完整的概念体系，帮助学生更好地理解和掌握数学概念。