基于一维非稳态热传递模型的高温作业专用服饰

本文基于传热学原理，利用一维非稳态热传递过程模型，对热防护服的初始条件和边界条件进行讨论，通过偏微分方程得到温度的分布关系；利用变步长搜索法遍历II层厚度值，得到最优厚度值；最后遍历出若干组满足约束条件的II层、IV层厚度值，通过综合评价求解出最优的II层、IV层厚度。

1  问题背景

为了更快地设计出可以在高温环境下使用的专业服饰，我们根据2018年高教杯全国大学生数学建模竞赛A题建立模型，分析并解决以下问题：

（1）在环境温度75ºC、II层厚度6mm、IV层厚度5mm、工作时间90分钟的情况下计算假人皮肤外侧温度。

（2）在环境温度65ºC、IV层厚度5.5mm时，确定II层的最优厚度，以确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。

（3）当环境温度为80ºC时，求II层和IV层的最优厚度，以确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。

2  问题分析

问题一：这是个关于非稳态传热过程的数学模型问题。利用传热学中的理论计算出热量和温度间的关系，再根据Fourier定律，可得到热传导的偏微分方程解答。

问题二：本质为优化问题中的目标规划问题，利用问题一中的非稳态热传递微分方程组来利用了有限差分法和变步长搜索法来反求参数。

问题三：本质是一个求解优化问题中的多目标规划问题，可以在满足约束条件的情况下，遍历IV层的厚度，将该问题转化为问题二求解。并引入功能值，用该值的大小来统一量化目标函数，计算最优厚度。

3  模型的建立和求解

3.1  问题一

3.1.1  热传导模型

热量从防热服外向内传导的过程为非稳态导热过程，遵循Fourier定律，可用热流密度表示，如式（1）：

（1）

其中，表示热流密度；为热传导率；为物体温度沿x轴方向的变化率。

热量传导的过程满足能量守恒定律，根据傅里叶定律可得到微分方程，如式（2）：

（2）

其中，表示比热；为单位体积的质量密度；为热传导。

3.1.2  边界条件的计算

在防护服的外表面，利用能量守恒定律，可以得到织物表面的热传导公式（3）：

(3)

热对流的热流密度可以用牛顿冷却公式得到：

(4)

其中，为对流换热系数，根据Rapp的分析结果，；表示防护服外表面的温度；表示为高温环境的温度。

热辐射的热流密度为：

(5)

其中，为纺织品表面的热辐射率，经dunkle测量，；为Stefan-Boltzmann常量，即黑体辐射常数，。

将式（1）、（4）、（5）代入到式（3）中，得到防护服外表面的左边界函数如下：

由于在右边界IV层与皮肤之间既有热传导又有热辐射，所以其边界条件可用公式(1)、(3)、(5)得到：

其中；为假体的热辐射率，；表示假人皮肤外侧的温度，单位为K； 表示假人内部温度，。 

假设初始的热防护服的整体温度为37ºC，即：

最后求解，得到假体热传导率数值为0.0851，温度分布情况如图1：

图1  温度分布情况

3.2  问题二

该目标规划问题的目标函数为：，其约束条件如下：

利用变步长搜索法，最后计算得到的第二层的最优厚度的为10.8mm。

3.3  问题三

先将IV层边缘的厚度（即0.6mm和6.4mm）作为定值代入。用第二问的方法求出满足约束条件的最优的II层厚度。其计算结果如下：

表1  厚度边界特殊节点表

IV层厚度 0.6mm（左边界） 6.4mm（右边界）

II层厚度 ≥22.4mm 18.9mm

取第II层的厚度作为范围遍历，步长定为0.1mm，求解IV层的厚度，并选取厚度、重量、防护性能为评价指标选出最优厚度。通过TOPSIS方法对评价结果的数值进行处理，得到的评价方程为：

其中为评价得分；为厚度；为重量；为瞬时导热率。

最后，得到的最优结果为：II层的厚度的为19.9mm，IV层的厚度为4.6mm。

4  模型的评价与推广

充分利用相关数据，结合传热学原理，建立符合实际的模型。由于时间的限制，没有更进一步地探讨精度的问题，结果可能会有一定的偏差。

将此模型推广到实际生活中，可以设计出更加轻便的高温作业专用服装，提高高温作业的工作效率和舒适程度。同时还可以推广到低温作业环境，或者其他对温度要求较高的环境中。